Kontinuierliche Geometrien, Fachbücher von Fumitomo Maeda

Bisher beruhte die projektive Geometrie auf den Grundbegriffen Punkt, Gerade usw., und man glaubte, nicht auf diese Grundbegriffe verzichten zu können. Im Jahr 1935 zeigten Birkhoff und Menger, dass die projektive Geometrie vom Standpunkt der Verbandstheorie betrachtet ein irreduzibler endlichdimensionaler komplementärer modularer Verband ist. Hier ist der Grundbegriff die 'Ordnung', die z. B. besagt, dass ein Punkt in einer Geraden 'enthalten' ist, und wegen der Beschränkung auf endlich viele Dimensionen können Punkte, Geraden usw. auftreten. Es musste also unter Verzicht auf diese Beschränkung möglich sein, eine neue Geometrie aufzustellen, die verbandstheoretisch wie die projektive Geometrie gebaut ist, in der es aber keine Punkte und Geraden gibt. Die Aufstellung einer solchen Geometrie erwies sich aber keineswegs als leicht. J. von Neumann stellte 1936-1937 das schwierige Problem. Wenn man die Dimensionsbezeichnungen ein wenig ändert, können die Dimensionen der linearen Mengen (Punkte, Geraden usw.) in einer n-dimensionalen projektiven Geometrie die Werte 0, 2-, 3-, ..., n-1, n annehmen; d. h., die Dimension der leeren Menge ist 0, die Dimension eines Punktes 2-, die einer Geraden 3, usw., die des ganzen Raumes schliesslich n. Von Neumann zeigte, dass man als Dimension der Elemente eines stetigen irreduziblen komplementären modularen Verbandes alle reellen Zahlen von 0 bis 1 nehmen kann. Da es dann Elemente gibt, deren Dimension der 0 beliebig nahekommt, kann der Begriff 'Punkt' nicht mehr auftreten. Damit hat man eine kontinuierliche Geometrie im engeren Sinne.