Mathematische Methoden I / Mathematical Methods I, Fachbücher von S. Flügge

Ziff. 57. 313 ist. Die letzten beiden Gleichungen gelten aber nicht mehr für eine Lösung (56.5), bei der sowohl w als auch a willkürlich vorgegeben sind. Dies wäre ja auch im Widerspruch zu dem in Ziff. 47 für die Potentialgleichung bewiesenen Satz, dass nicht gleichzeitig beide Randwerte 'P und o'P/on willkürlich vorgegeben werden können. Wenn w und a willkürlich vorgegeben sind, stellt (56.5) zwar im Innern auch eine Lösung der Differentialgleichung (56.2) dar, für die aber bei Annäherung an den Rand die Werte 'P und o'P/on nicht gegen - 4na bzw. 4nw konvergieren. Gl. (56.4) zeigt, wie auch bei unstetigen Randbedingungen 'P (r) im Innern des Gebietes samt den auftretenden Ableitungen stetig wird, sofern nur e (r) selbst diese Eigenschaften hat. Diese Tatsache, die schon für die zweidimensionale Potentialgleichung aus der Funktionentheorie entnommen wurde, zeigt wieder einen deutlichen Unterschied der elliptischen Differentialgleichung (56.2) gegenüber der hyperbolischen Wellengleichung. Bei der Wellengleichung pflanzt sich eine Unstetigkeit der Anfangswerte durch das raum-zeitliche Grundgebiet entlang der Charakteristiken fort. Hier dagegen gibt es keine reellen Charakteristiken, und Unstetigkeiten der Randwerte setzen sich nicht in das Grundgebiet fort. III. Eigenwertprobleme. 57. Problemstellung. Es soll vorausgesetzt werden, dass die lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung (57.1) als passenden Rand einen geschlossenen Rand zulässt, der als Oberfläche ein 'Grundgebiet' abgrenzt. Es soll also ein 'echtes' Randwertproblem vorliegen.